Boy'sche Fläche
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Die reelle projektive Ebene \(\mathbb{R}\mathbb{P}^2\) besteht aus den eindimensionalen Unterräumen des \(\mathbb{R}^3\) als Punkten und den zweidimensionalen Unterräumen des \(\mathbb{R}^3\) als Geraden. Man kann sich \(\mathbb{R}\mathbb{P}^2\) vorstellen, indem man auf der Einheitssphäre \(\mathbb{S}^2:=\{x\in\mathbb{R}^3: \lVert x\rVert =1\}\) gegenüber liegende Punkte miteinander identifiziert, \(x\sim -x\). Die resultierende Quotientenmenge \(\mathbb{S}^2/\sim\) ist nicht-orientierbar. Wie alle nicht-orientierbaren Flächen (vgl. z.B. Kleinsche Flasche), so kann auch \(\mathbb{R}\mathbb{P}^2\) nicht in den \(\mathbb{R}^3\) eingebettet werden. Die Boy'sche Fläche stellt jedoch immerhin eine Immersion \(\mathbb{R}\mathbb{P}^2\to\mathbb{R}^3\) dar. Im Jahr 1901 fand der Mathematiker Werner Boy die nach ihm benannte Fläche. Erst 1978 lieferte Bernard Morin eine erste Parametrisierung der Fläche. Überblick:Links:
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Weiteführende Literatur:
- Boy, W. Über die Curvatura integra und die Topologie geschlossener Flächen. Mathematische Annalen, Volume 57, Issue 2, pp. 151-184, 1903
- Carter, J.S. A further generalization of Boy's surface. Houston Journal of Mathematics, Volume 12, No. 1, pp. 11-31, 1986
- Apéry, F. The Boy Surface. Models of the Real Projective Plane, Vieweg + Teubner, 1987
- Beutelspacher, A. und Rosenbaum, U. Projective Geometry: from foundations to applications. Cambridge University Press, 1998
- online verfügbar
- Kossowski, M. A generalization of Boy's theorem for surfaces in Euclidean 3-space. C. R. Math. Acad. Sci. Soc. R. Can., Volume 23, No. 3, pp. 65-70, 2001
- Goodman, S. und Kossowski, M. Immersions of the projective plane with one triple point. Differential Geometry and its Applications, Volume 27, Issue 4, pp. 527-542, 2009